【品質工程】貝氏定理與武漢肺炎新型冠狀病毒檢驗的偽陽性 Baye's Theorem & covid-19 False Positive
現在新型冠狀病毒的疫情造成許多人恐慌，有的人或許會想：為何不擴大病毒試劑檢測的數量呢？畢竟我們身處在不確定的環境中會很驚恐，擴大試劑的檢測範圍可以多一些確定性。但醫療團隊之所以選擇不要全檢的用意更多是為了避免檢測所帶來的「假訊息」，我們稱之為「偽陽性」或「偽陰性」，意思就是沒有病的人卻被判定成陽性反應、有病的人卻被判定成陰性反應。當然，這中間會有檢測成本上的考量，但在公衛決策上並不會單純用檢測成本判斷是否要全體檢測的依據，而會多方考量整體的社會成本。
如果讓A表示感染武漢肺炎的事件，讓B表示快篩為陽性的事件，我們就可以藉由條件機率及貝氏定理計算出偽陽性的機率。在因果關係上，是A -> B，先發生感染武漢肺炎，再發生快篩陽性。
若A、B為獨立事件，透過條件機率我們知道：
P(A|B) = P(AB)/P(B)
P(B|A) = P(AB)/P(A)
則
P(A|B) = [P(B|A)*P(A)] / P(B)
又
P(B) = P(AB) + P(A'B) = P(B|A)*P(A) + P(B|A')*P(A')
則
P(A|B) = [P(B|A)*P(A)] / [P(B|A)*P(A) + P(B|A')*P(A')]
上述的式子就是貝氏定理，P(A|B)用白話文可以解釋成：在快篩為陽性的條件下，真正感染了武漢肺炎的機率。這在實務上其實是很常見的情境，例如醫生往往只能觀察到病人的發燒症狀，但可以引起發燒的病症有千百種，醫生只能用事後的B(症狀)去反推A(病因)的機率。在武漢肺炎的案例中，醫生就只能用快篩陽性作為證據，去判斷病人是否真的感染了武漢肺炎。
假設人類群體中感染武漢肺炎的機率P(A)是5%，且快篩的正確率P(B|A)是99% ，那麼套用上述公式可以得知：
P(A|B) = [0.99*0.05] / [0.99*0.05 + 0.01*0.95] = 0.0495/0.059 = 0.9817 = 83.89%
真正因為感染武漢肺炎而快篩為陽性的病患佔了檢測為陽性的83.89%，這表示仍有將近16.11%的病患會因為檢測而出現偽陽性，這就造成社會資源的消耗及無謂的恐慌。要留意的是，這個題目已經假設感染武漢肺炎的機率P(A)是5%才會得到"這麼低"的偽陽性機率；如果今天人類群體中感染武漢肺炎的機率P(A)是0.5%，偽陽性的機率會高達67%。
會出現如此巨大的偽陽性機率的原因是由於群體的患病比例太低，本來在抽樣上就容易抽到沒病的人；大量的沒病的人去做快篩，很容易通過快篩的1%錯誤率，導致偽陽性發生。這就解釋了為什麼不應該讓全部人或大部分的人都做快篩，原理其實頗為反直覺。至於偽陰性的數據就留給大家自己算，原理都一樣。
值得一提的是，其實病患治療與公司的品質管理有異曲同工之妙，當異常品產出時，多半也都是異常現象，此時可以透過貝氏定理稍微推敲該異常是否為真正的原因，我會再找一篇文章介紹用法。
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