【品質工程】為什麼Cpk >= 1.33才算好 ? 1.33這數字怎麼來的？Why Cpk must be greater than or equal to 1.33?

2021.09.08 編修文章, 利於讀者閱讀
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2020.03.08 編修文章
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2019.05.05 更新文章

Cpk>=1.33之謎


大家學習SPC的時候一定學過製程能力指標Cpk，並且知道Cpk大於1.33時表示製程能力還不錯可以接受，但是為什麼Cpk要大於1.33而不是1.34或者1.35?難道都沒有統計上的數理證明嗎?工作狂人把Cpk跟sigma還有良率ppm綁在一起討論，這是正確的嗎?有沒有覺得很複雜看不懂? 我們今天就用幾個簡單的圖形直觀的看待1.33這個數字的來源。
You must have learnt that Cpk should be greater than or equal to 1.33, haven't you? It's confusing that why Cpk is 1.33, not 1.34 or 1.35, we just didn't give it a chance to dig it out more before. Now we have an opportunity to look over it and figure out why. 



我們可以從上述投影片看到Cpk的公式受分母與分子的影響，分別是：

  1. 分母---製程樣本標準差(本文用S=(R-bar)/d2表示)
  2. 分子---規格上限或下限與製程中心的距離(製程中心本文用T/2表示，下文詳述)

Cpk>=1.33的簡單推導


為了說明方便起見，讓我們假設製程中心剛好對準規格中心，這樣的操作可以確保製程中心與規格上下限的距離相等，計算上不必區分哪一個比較小，解釋起來比較方便。各位也不用害怕萬一製程中心與規格中心不一致會不會得到不同的結論，這一點可以放心，兩者的結論都是相同的。


假設規格上下限的寬度為T = USL-LSL，且製程中心與規格中心重疊，則製程中心 = T/2；依照Cpk的公式，我們假設Cpk >= 1.33則會得到(T/2)/(3*S) >= 1.33。隨即可以導出上下限寬度T >= 8S，又整個製程能力的分佈是2*3S = 6S，因此製程能力與規格上下限的距離左右各是(8S - 6S)/2 = 1S。


從上述的簡易推導可以看出Cpk >= 1.33的用意。如果製程能力若與規格上下限的距離各間隔1S，且製程中心對齊規格中心，那我們可以確保該項品質特性的變異尚有1S的空間不超過規格上下限。站在變異越小、品質越好的角度來看，我們當然會期望這個空間越大越好。

以此類推，設(T/2)/(3*S) >= 1.66，則我們可以導出 T >= 10S的結論，又因為整個製程能力的分佈是6S，所以製程能力與規格上下限的距離左右各是2S。若設(T/2)/(3*S) >= 2.0，則我們可以導出 T = 12S的結論，又整個製程能力的分佈是6S，因此製程能力與規格上下限的距離左右各是3S，此時製程能力已接近6sigma的水準，製程變異已被控制在非常低的狀態。


重點在製程能力，不在Cpk


Cpk其實是表達製程能力是否與規格界限保有適當距離的評斷方式。如同車輛與車庫之間的關係，當車輛寬度相同而車庫寬度有大有小的時候，好停車的當然是大車庫；車庫寬度之於車輛的寬度就如同規格上下限之於製程能力。


值得留意的是當年SPC發展時並沒有Cpk等製程能力指標出現，當初的蕭華特管制圖只需要判斷管制圖本身是否有超出管制上下限的狀況即可，製程能力指標是後來才發展出來的判斷法則。但後來業界使用上卻喧賓奪主，許多人不明究理談到管制圖只講Cpk，這是非常不好的習慣，也是錯誤的用法。這篇文章除了說明Cpk的判定數字的來由之外，也想要糾正只提Cpk的習慣。


In fact, Cpk is a metric that represents the distance of keeping a process capability away from upper and lower specifications, just like mobiles and its garages. It is so wrong that only referring to Cpk but not mentioning normal distribution. It does not make any sense if the process capability does not meet the premise of normal distribution while the number of Cpk is perfectly within 1.33.


不能光提Cpk的原因在於常態分配的假設，如果製程能力的分布狀況不是常態分配，此時去計算Cpk是沒有意義的，即便Cpk的值很漂亮也不具有任何意義。詳細的說明請再參考「參考文章」中的連結文章。



留言

Evan表示…
Hi Jeff,
最近學習SPC與建立計算工具，除了參考AIAG手冊與相關教材外，您寫的文章讓我收穫非常多，謝謝~!
有一些問題想向您請教與討論

如同您所說，SPC主要架構是由中央極限定理、常態分佈、假設檢定等所構成，
因此不論原始資料呈何分布，經重複的抽樣與計算平均後，所得平均值的分布必為常態分布，
並藉由從製程所得的樣本變異定義管制上下限與繪製管制圖來監控變異與示警(特殊原因)，而AIAG的8種特殊原因警示來自於常態分布下計算若有不尋常現象發生的機率

要計算與比較Pp, Ppk, Cp, Cpk時，需先滿足(1)製程呈管制穩定狀態 (2)資料呈常態分佈，
第一點可以看管制圖來確認，但第二點是我疑惑的部分，資料是指所收集到的原始數據? 或者是指抽樣與計算平均後的數據點?
若是經抽樣與計算後的平均值，經重複抽樣一定次數(e.g. >=30)依中央極限定理一定呈常態分布，若有特殊原因則應會觸發AIAG的8種特殊原因警示，藉此察覺與採取相關動作，
但AIAG SPC手冊內提到說若非常態分布有其他處理方式，由此部分讓我推測所謂的資料要呈常態分佈，其中的資料是針對原始數據? 若是又延伸想到原始數據點要多少才能夠有效判定母體為常態?
以下是擷取AIAG內提到進行製程能力計算時最少要滿足的條件，以及對於第二點提到當非常態時的處理章節
1. The process from which the data come is statistically stable, that is, the normally accepted SPC rules must not be violated.
2. The individual measurements from the process data form an approximately normal distribution. (若非常態分布，可見Handling Non-Normal and Multivariate Distributions部分)
3. The specifications are based on customer requirements.

以上問題想與Jeff討論
謝謝~!
2020年9月19日 上午10:36
Jeff談統計品質管理寫道…
Wow, 這問題真長, 很抱歉我現在才回覆你。
1. 你所說的第二點：資料呈常態分佈的部分，指的不是原始數據，而是抽樣與平均後的數據
2. 文末提到的第二項"The individual measurements from the process data form an approximately normal distribution."指的也是抽樣與平均後的數據。The individual measurements from the process data不是指單一量測值，而是每一個X-bar or R-bar
處理SPC的資料要切記一點，就是你不太可能接觸到原始資料自己就呈現常態分配的，這太困難了；更多的狀況是即便抽樣與平均之後仍不太像常態，但這一般都是由於製程能力的緣故，不是由於資料型態的緣故。
2020年9月21日 上午8:22
Evan表示…
Hi Jeff,

感謝回答~!
所以有可能R Chart & X-bar Chart在管制穩定狀態無觸發任何警示的情況下，
X-bar的數據分布也有可能因製程能力問題而不是常態，需要做常態檢定來確認 (如使用常態機率圖紙)，
確認常態後，在比對Pp, Ppk, Cp, Cpk才有意義?

麻煩您了 Thx~!
2020年9月22日 凌晨3:08
Jeff談統計品質管理寫道…
Hi Evan,

實務上有兩種狀況：
第一種是數據分佈接近常態分配, 但Control Chart本身具有趨勢性因而觸發警示, not in statistical control
這個在做某些彈簧拉力的分佈時可能出現這種狀況
第二種是數據分佈接近常態分配, 但Control Chart本身不具趨勢性, in statistical control
第三種是數據分佈不是常態分配, 有觸發警示, not in statistical control
看到數據分佈不是常態分配就要考慮到一些特殊狀況了, 像是該品質特性會在抽樣時無法形成常態分配(通常與時間有關), 這通常在處理的時候就有蛛絲馬跡, 所以不用等到畫出Control Chart時才處理
2020年9月22日 清晨7:29
Evan表示…
Hi Jeff,

感謝提供實務上可能遇到的情況~!
也對SPC使用上可能遇到的情形與應用有近一步了解
後續實務上若有可分享的案例或特殊問題，到時分享與請教Jeff

Thx~
2020年9月24日 晚上10:04
Jeff談統計品質管理寫道…
Hi Evan,

隨時歡迎分享你的新發現, 也讓看到這篇文章的人多了學習的機會
2020年9月29日 上午8:40
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文章更新說明 本文為我於 2019 年準備 ASQ CQE 認證考試時的經驗紀錄，保留當時的學習方法與個人觀察。由於考試制度、報名費用及相關規定可能有所調整，如需了解現行認證資訊，請參考 森品 ASQ CQE 認證指南 。 考前準備Preparation 費用 非會員$498 會員    $398 加入會員一年年費$159 每年認證會員年費$159 我個人建議加入ASQ會員，原因是除了申請考試認證的費用之外，你或許還需要一些考試輔助，例如： CQE Question Bank CQE Handbook Fourth Edition CQE Certification Preparation 這些會產生其他額外費用，加入會員可以取得比較多的優惠，會員也可以取得每月的月刊及相關讀物，對於增進品質知識是滿有幫助的。
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